Abstract
We study Kontsevich's deformation quantization for the dual of a finite-dimensional real Lie algebra (or superalgebra)
g
. In this case the Kontsevich ★-product defines a new convolution on
S(
g)
, regarded as the space of distributions supported at
0∈
g
. For
p∈S(
g)
, we show that the convolution operator
f↦
p★
f is a differential operator with
analytic germ.
We use this fact to prove a conjecture of Kashiwara and Vergne on invariant distributions on a Lie group
G. This implies local solvability of bi-invariant differential operators on a Lie supergroup. In the special case of Lie groups, we get a new proof Duflo's theorem.
Nous étudions la quantification par déformation de Kontsevich du dual d'une algèbre (ou superalgèbre) de Lie réelle de dimension finie
g
. Dans ce cas, le ★-produit de Kontsevich définit une nouvelle convolution sur
S(
g)
, vu comme l'espace des distributions de support le point
0∈
g
. Pour
p∈S(
g)
, nous démontrons que l'opérateur de convolution
f↦
p★
f est un opérateur différentiel de germe
analytique.
Nous utilisons ce fait pour prouver une conjecture de Kashiwara et Vergne sur les distributions invariantes sur un groupe de Lie
G. Ceci implique la résolubilité locale des opérateurs différentiels bi-invariants sur un super-groupe de Lie
G. Dans le cas particulier des groups, nous obtenons ainsi une nouvelle démonstration du théorème de Duflo.
