Abstract
В настоящей работе описаны последние достижения в направлении
зеркальной гипотезы $\mathrm P=\mathrm W$, которая связывает весовую фильтрацию
на когомологиях многообразия лог-Калаби-Яу
с превратной фильтрацией Лере на когомологиях
гомологически зеркально двойственного многообразия Калаби-Яу,
взятой для отображения аффинизации. Эта гипотеза обобщает
классическую связь межу числами Ходжа
зеркально двойственных компактных многообразий Калаби-Яу,
включая в нее идеи, появившиеся в новаторских работах де Катальдо,
Мильгорини и Хаузеля [1] и де Катальдо и Мильгорини [2].
Мы даем обзор мотивировки этой гипотезы и
последних связанных с ней результатов и описываем,
как эти результаты возникают из формулировки SYZ
зеркальной симметрии. Такая интерпретация зеркальной гипотезы $\mathrm P=\mathrm W$
дает ее возможную связь с хорошо известной
в неабелевой теории Ходжа гипотезой $\mathrm P=\mathrm W$.
Библиография: 22 названия.
In this paper, we describe recent work towards the mirror $\mathrm P=\mathrm W$ conjecture, which relates the weight filtration on the cohomology of a log Calabi-Yau manifold to the perverse Leray filtration on the cohomology of the homological mirror dual log Calabi-Yau manifold taken with respect to the affinization map. This conjecture extends the classical relationship between Hodge numbers of mirror dual compact Calabi-Yau manifolds, incorporating tools and ideas which appear in the fascinating and groundbreaking works of de Cataldo, Hausel, and Migliorini [1:x033] and de Cataldo and Migliorini [2:x033]. We give a broad overview of the motivation for this conjecture, recent results towards it, and describe how this result might arise from the SYZ formulation of mirror symmetry. This interpretation of the mirror $\mathrm P=\mathrm W$ conjecture provides a possible bridge between the mirror $\mathrm P=\mathrm W$ conjecture and the well-known $\mathrm P=\mathrm W$ conjecture in non-Abelian Hodge theory.